Vandermonde matrix
선형대수학의 특수 행렬 중 하나로, 1열의 성분이 모두 1이고, 각 행의 성분이 등비수열을 구성하는 행렬이다. 프랑스의 수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드의 이름을 따서 명명됐다.
목차
1. 정의
2. 성질
3. 외부
4. 참고 문헌
5. 영상
체 F와 \alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_m \in F에 대해, m \times n 방데르몽드 행렬 V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix}
V의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하기도 한다. 중요한 건 한 줄(행이든 열이든)이 등비수열을 이룬다는 점이다.
- 방데르몽드 행렬
V가 n차 정사각행렬이면, \det V=\prod_{1\le j < i \le n} (\alpha_i - \alpha_j)
이다. 이때,
\det V를
방데르몽드 행렬식이라 하며,
V가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른
i,j\in \{1,2,\cdots,n\}에 대해
\alpha_i \ne \alpha_j인 것이다.
V가 가역일 때, V의 역행렬을 V^{-1}=[\beta_{ij}]라 하면, 다음 식이 성립한다.\beta_{ij}=(-1)^{i-1}\frac {S_{n-i}(\alpha_1, \cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\prod_{k\ne j}(\alpha_k-\alpha_j)}
이때,
S_{n-i}는 기본대칭함수이다.
증명. V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.
\sum_{k=1}^n \alpha_i^{k-1} \beta_{kj}=\delta_{ij}이때,
\delta_{ij}는 크로네커 델타이다. 다항식
P_j(x)를
P_j(x)=\sum_{k=1}^n \beta_{kj}x^{k-1}로 정의하면
\displaystyle P_j(\alpha_i)=\sum_{k=1}\beta_{kj}\alpha_i^{k-1}=\delta_{ij}이다. 라그랑주 보간법에 의해,
\begin{aligned}P_j(x)&=\sum_{i=1}^n \delta_{ij}L_i(x)\\&=L_j(x)\\&=\prod_{\substack{1\le k \le n\\ k\ne j}}\frac{x-\alpha_k}{\alpha_j-\alpha_k}\end{aligned}이다. 이때
L_j(x)는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
\begin{aligned}\beta_{kj}&=\frac{\displaystyle\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}(-\alpha_{i_j})}{\displaystyle\prod_{\substack{1\le m \le n \\ k\ne j}}(\alpha_j-\alpha_m)}\\ &=\frac{\displaystyle (-1)^{n-k}\sum_{1\le i_1 < \cdots < i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}\alpha_{i_j}}{\displaystyle (-1)^{n-1}\prod_{\substack{1\le m \le n \\ m\ne j}}(\alpha_m-\alpha_j)} \\&= \frac{\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\displaystyle \prod_{\substack{1\le m \le n \\ k\ne j}}(\alpha_m-\alpha_j)} \end{aligned}임을 안다.
k를
i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.
4. 참고 문헌 ✎
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
